Project Euler 745

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Project Euler 745

题目

Sum of Squares II

For a positive integer, \(n\), define \(g(n)\) to be the maximum perfect square that divides \(n\).

For example, \(g(18) = 9\), \(g(19) = 1\).

Also define

\[\displaystyle S(N) = \sum_{n=1}^N g(n)\]

For example, \(S(10) = 24\) and \(S(100) = 767\).

Find \(S(10^{14})\). Give your answer modulo \(1\,000\,000\,007\).

解决方案

可以知道，对于所有无平方因子数\(n\)，都有\(g(nk^2)=k^2\)，因为\(g(nk^2)\)只取决于平方因子\(k^2\)。

令\(N=10^{14}\)，那么有

\[S(N)=\sum_{i=1}^{\lfloor\sqrt{N}\rfloor} i^2\cdot f\left(\left\lfloor\dfrac{N}{i^2}\right\rfloor\right)\]

其中\(f(n)\)表示\(n\)以内的无平方因子数个数。

\(f(n)\)可以以\(O(\sqrt{n})\)的时间复杂度计算，在193题已经有提及。那么本题计算\(S(N)\)的时间复杂度为\(O(\sqrt{N}\log N)\)。

\(O(\sqrt{N})\)的做法待补。

代码

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# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N=1e14;
const int M=sqrt(N);
int mod=1e9+7;
int pr[M/10+100],v[M+4],mu[M+4],m=0;
ll cal(ll n){
    ll ans=0;
    for(ll i=1;i*i<=n;i++)
        ans+=(n/i/i)*mu[i];
    return ans;
}
int main(){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=M;i++){
        if(v[i]==0){
            v[i]=i;mu[i]=-1;pr[++m]=i;
        }
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(pr[j]>v[i]||pr[j]>M/i) break;
            v[i*pr[j]]=pr[j];
            mu[i*pr[j]]=(pr[j]==v[i]?0:-mu[i]);
        }
    }
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=M;i++)
        ans=(ans+cal(N/i/i)%mod*i%mod*i%mod);
    ans%=mod;
    printf("%lld\n",ans);
}