Project Euler 212

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Project Euler 212

题目

Combined Volume of Cuboids

An axis-aligned cuboid, specified by parameters \(\{ (x_0,y_0,z_0), (dx,dy,dz) \}\), consists of all points \((X,Y,Z)\) such that \(x_0 \le X \le x_0+dx, y_0 \le Y \le y_0+dy\) and \(z_0 \le Z \le z_0+dz\). The volume of the cuboid is the product, \(dx \times dy \times dz\). The combined volume of a collection of cuboids is the volume of their union and will be less than the sum of the individual volumes if any cuboids overlap.

Let \(C_1,\dots,C_{50000}\) be a collection of \(50000\) axis-aligned cuboids such that \(C_n\) has parameters

\(\begin{aligned} x_0 &=& S_{6n-5} \text{ modulo } 10000\\ y_0 &=& S_{6n-4} \text{ modulo } 10000\\ z_0 &=& S_{6n-3} \text{ modulo } 10000\\ dx &=& 1 + (S_{6n-2} \text{ modulo } 399)\\ dy &=& 1 + (S_{6n-1} \text{ modulo } 399)\\ dz &=& 1 + (S_{6n} \text{ modulo } 399) \end{aligned}\)

where \(S_1,\dots,S_{300000}\) come from the “Lagged Fibonacci Generator”:

For \(1 \le k \le 55, S_k = [100003 - 200003k + 300007k^3] (\text{ modulo } 1000000)\)

For \(56 \le k, S_k = [S_{k-24} + S_{k-55}] (\text{ modulo } 1000000)\)

Thus, \(C_1\) has parameters \(\{(7,53,183),(94,369,56)\}\), \(C_2\) has parameters \(\{(2383,3563,5079),(42,212,344)\}\), and so on.

The combined volume of the first \(100\) cuboids, \(C_1,\dots,C_{100}\), is \(723581599\).

What is the combined volume of all \(50000\) cuboids, \(C_1,\dots,C_{50000}\) ?

解决方案

这\(50000\)个方块有以下特点：

  1. 它们是用伪随机算法“均匀”生成的，因此实际上，被方块占领的空间相对均匀。
  2. 这些方块的边长很小（最多\(399\)），但是空间长度却很大（最多可以达到\(10399\)）。

因此，我们可以将整个空间划分成多个部分，然后分别在每个部分中计算体积，最终再求和。并且，对于任何一个划分出来的空间，立方体的数量比较少（这说明我们在后面使用容斥原理时，枚举量将很少）。

这里的划分方案是：每一个部分将划分成\(B\times B\times B\)的大小，其中\(B=399\)。这种划分方式保证了每一个方块最多只会被划分成\(8\)部分。

对于每一个划分出来的空间而言，考虑使用容斥原理进行计算这一部分的体积：如果当前空间是奇数个方块的交集，那么这个交集的体积就需要在答案中加上，否则就从答案中减去。以此过程最终计算出答案。

当然，本题也可以用八叉树进行实现，不过效率较低。

代码

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from collections import defaultdict

N = 50000
block = 399


def gen():
    a = []
    for i in range(1, 56):
        a.append((100003 - 200003 * i + 300007 * i ** 3) % 1000000)
        yield a[-1]
    while True:
        a.append((a[-24] + a[-55]) % 1000000)
        yield a[-1]


def dfs(f, flag, pre, here):
    s = 0
    for i in range(f, len(here)):
        now = cubes[here[i]]
        x, y, z = max(pre[0], now[0]), max(pre[1], now[1]), max(pre[2], now[2])
        dx = min(pre[0] + pre[3], now[0] + now[3]) - x
        dy = min(pre[1] + pre[4], now[1] + now[4]) - y
        dz = min(pre[2] + pre[5], now[2] + now[5]) - z
        if min(dx, dy, dz) <= 0:
            continue
        s += flag * dx * dy * dz + dfs(i + 1, -flag, [x, y, z, dx, dy, dz], here)
    return s


cubes = []
mp = defaultdict(list)
g = gen()

for m in range(N):
    a, b, c = g.__next__() % 10000, g.__next__() % 10000, g.__next__() % 10000
    x, y, z = g.__next__() % 399 + 1, g.__next__() % 399 + 1, g.__next__() % 399 + 1
    cubes.append((a, b, c, x, y, z))
    for i in range(a // block, (a + x) // block + 1):
        for j in range(b // block, (b + y) // block + 1):
            for k in range(c // block, (c + z) // block + 1):
                mp[i, j, k].append(m)
ans = 0
for pos, here in mp.items():
    ans += dfs(0, 1, [pos[0] * block, pos[1] * block, pos[2] * block, block, block, block], here)
print(ans)