Mathematica 使用 1

本文记录部分 Mathematica 求解命令的使用方法。主要以实例展示。

RSolve

RSolve 命令用于求解递推式。

1. 求递推式 $f_1=1,f_n=2f_{n-1}+3$ 的通项公式：

RSolve[{f[n] == 2 f[n - 1] + 3, f[1] == 1}, f[n], n]
(* Out: {{f[n] -> -3 + 2^(1 + n)}} *)

2. 求解递推式如下递推式组合的通项公式 $a_n,b_n$：

$$\{\begin{array}{rl}& a_{n+1}=b_n+2\\ & 3b_{n+1}=a_n-5\\ & a_0=3\\ & b_0=1\end{array}$$

RSolve[{a[n + 1] == b[n] + 2, 3 b[n + 1] == a[n] - 5, a[0] == 3, 
  b[0] == 1}, {a, b}, n]
(* {{a -> Function[{n}, 
    1/4 3^(-n/
      2) (5 + 5 (-1)^n + 5 Sqrt[3] - 5 (-1)^n Sqrt[3] + 2 3^(n/2))], 
  b -> Function[{n}, -(1/4) 3^(-(1/2) - n/
      2) (-5 + 5 (-1)^n - 5 Sqrt[3] - 5 (-1)^n Sqrt[3] + 
       2 3^(3/2 + n/2))]}}*)

Sum

Sum 命令通常用于求解级数，或者是求和式的通项公式。

1. 计算巴塞尔问题 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}}$.

Sum[1/n^2, {n, 1, Infinity}]
(*Out: Pi^2/6*)

2. 计算 ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=1}^i{\displaystyle \frac{1}{(i+1{)}^2{j}^2}}}$.

Sum[1/(j^2 (i + 1)^2), {i, 1, Infinity}, {j, 1, i}]
(*Out: Pi^4/120*)

3. 令 $a_n=(4n+1)\cdot 3^n$，求 ${\displaystyle S_n=\sum _{i=1}^n{a}_i}$ 的通项公式。

Sum[(4 i + 1)*3^i, {i, 1, n}]
(*Out: 3/2 (1 - 3^n + 4 3^n n)*)

Integrate, NIntegrate

Integrate 命令用于计算积分。

NIntegrate 命令用于计算定积分的数值值。一般难以解出解析解时使用。

1. 计算反常积分 ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}dx}$.

Integrate[E^{-x^2}, {x, -Infinity, Infinity}]
(*Out: {Sqrt[Pi]}*)
NIntegrate[E^{-x^2}, {x, -Infinity, Infinity}]
(*Out: {1.77245}*)

2. 计算二重积分 ${\displaystyle {\iint }_D{e}^{-x^2}dxdy}$，其中区域 $D$ 是：$(0\le x\le 1,0\le y\le x^2)$

Integrate[x y, {x, 0, 1}, {y, 0, x^2}]
(*Out: 1/12*)

3. 求解不定积分 ${\displaystyle \int x\cdot \arctan xdx}$

Integrate[x*ArcTan[x], x]
(*Out: -(x/2) + ArcTan[x]/2 + 1/2 x^2 ArcTan[x]*)

D, '

D 命令用于求解偏导。

一个函数 $f$ 后面加上一个' 就用于求出它的一阶导函数 $f^{\prime }$。

1. 计算 ${\displaystyle \frac{d(x^n)}{dx}}$。

D[x^n, x]
(*Out: n x^(-1 + n)*)
f[x_] = x^n
(*Out: x^n *)
f'[x]
(*Out: n x^(-1 + n) *)

2. 计算 ${\displaystyle \frac{d^4(e^x\cdot x^4)}{d{x}^4}}$。

D[E^x*x^4, {x, 4}]
(*Out: 24 E^x + 96 E^x x + 72 E^x x^2 + 16 E^x x^3 + E^x x^4 *)
f[x_] = E^x*x^4
(*Out: E^x x^4 *)
f''''[x]
(*Out: 24 E^x + 96 E^x x + 72 E^x x^2 + 16 E^x x^3 + E^x x^4 *)

3. 计算 ${\displaystyle \frac{{\partial }^2}{\partial x\partial y}}{\displaystyle \frac{e^x}{\sin y}}$。

D[E^x/Sin [y], x, y]
(*Out: -E^x Cot[y] Csc[y] *)

4. 计算 ${\displaystyle \frac{{\partial }^3}{\partial x{\partial }^{2}y}}{\displaystyle \frac{e^x}{\sin y}}$。

D[E^x/Sin [y], {x,1}, {y,2}]
(*Out: E^x (Cot[y]^2 Csc[y] + Csc[y]^3) *)