Mathematica 使用 1

本文记录部分 Mathematica 求解命令的使用方法。主要以实例展示。

RSolve

RSolve 命令用于求解递推式。

  1. 求递推式 f1=1,fn=2fn1+3 的通项公式:
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RSolve[{f[n] == 2 f[n - 1] + 3, f[1] == 1}, f[n], n]
(* Out: {{f[n] -> -3 + 2^(1 + n)}} *)
  1. 求解递推式如下递推式组合的通项公式 an,bn

{an+1=bn+23bn+1=an5a0=3b0=1

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RSolve[{a[n + 1] == b[n] + 2, 3 b[n + 1] == a[n] - 5, a[0] == 3, 
b[0] == 1}, {a, b}, n]
(* {{a -> Function[{n},
1/4 3^(-n/
2) (5 + 5 (-1)^n + 5 Sqrt[3] - 5 (-1)^n Sqrt[3] + 2 3^(n/2))],
b -> Function[{n}, -(1/4) 3^(-(1/2) - n/
2) (-5 + 5 (-1)^n - 5 Sqrt[3] - 5 (-1)^n Sqrt[3] +
2 3^(3/2 + n/2))]}}*)

Sum

Sum 命令通常用于求解级数,或者是求和式的通项公式。

  1. 计算巴塞尔问题 n=11n2.
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Sum[1/n^2, {n, 1, Infinity}]
(*Out: Pi^2/6*)
  1. 计算 i=1j=1i1(i+1)2j2.
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Sum[1/(j^2 (i + 1)^2), {i, 1, Infinity}, {j, 1, i}]
(*Out: Pi^4/120*)
  1. an=(4n+1)3n,求 Sn=i=1nai 的通项公式。
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Sum[(4 i + 1)*3^i, {i, 1, n}]
(*Out: 3/2 (1 - 3^n + 4 3^n n)*)

Integrate, NIntegrate

Integrate 命令用于计算积分。

NIntegrate 命令用于计算定积分的数值值。一般难以解出解析解时使用。

  1. 计算反常积分 ex2dx.
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Integrate[E^{-x^2}, {x, -Infinity, Infinity}]
(*Out: {Sqrt[Pi]}*)
NIntegrate[E^{-x^2}, {x, -Infinity, Infinity}]
(*Out: {1.77245}*)
  1. 计算二重积分 Dex2dxdy,其中区域 D 是:(0x1,0yx2)
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Integrate[x y, {x, 0, 1}, {y, 0, x^2}]
(*Out: 1/12*)
  1. 求解不定积分 xarctanxdx
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Integrate[x*ArcTan[x], x]
(*Out: -(x/2) + ArcTan[x]/2 + 1/2 x^2 ArcTan[x]*)

D, '

D 命令用于求解偏导。

一个函数 f 后面加上一个' 就用于求出它的一阶导函数 f

  1. 计算 d(xn)dx
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D[x^n, x]
(*Out: n x^(-1 + n)*)
f[x_] = x^n
(*Out: x^n *)
f'[x]
(*Out: n x^(-1 + n) *)
  1. 计算 d4(exx4)dx4
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D[E^x*x^4, {x, 4}]
(*Out: 24 E^x + 96 E^x x + 72 E^x x^2 + 16 E^x x^3 + E^x x^4 *)
f[x_] = E^x*x^4
(*Out: E^x x^4 *)
f''''[x]
(*Out: 24 E^x + 96 E^x x + 72 E^x x^2 + 16 E^x x^3 + E^x x^4 *)
  1. 计算 2xyexsiny
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D[E^x/Sin [y], x, y]
(*Out: -E^x Cot[y] Csc[y] *)
  1. 计算 3x2yexsiny
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D[E^x/Sin [y], {x,1}, {y,2}]
(*Out: E^x (Cot[y]^2 Csc[y] + Csc[y]^3) *)
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