本文记录部分Mathematica求解命令的使用方法。主要以实例展示。
RSolve
RSolve命令用于求解递推式。
- 求递推式\(f_1=1,f_n=2f_{n-1}+3\)的通项公式：
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| RSolve[{f[n] == 2 f[n - 1] + 3, f[1] == 1}, f[n], n]
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- 求解递推式如下递推式组合的通项公式\(a_n,b_n\)：
\[\left\{\begin{aligned}
&a_{n+1}=b_n+2\\
&3b_{n+1}=a_n-5\\
&a_0=3\\
&b_0=1
\end{aligned}\right.\]
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| RSolve[{a[n + 1] == b[n] + 2, 3 b[n + 1] == a[n] - 5, a[0] == 3,
b[0] == 1}, {a, b}, n]
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Sum
Sum命令通常用于求解级数，或者是求和式的通项公式。
- 计算巴塞尔问题\(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}
\dfrac{1}{n^2}\).
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| Sum[1/n^2, {n, 1, Infinity}]
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- 计算\(\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}}
\sum_{j=1}^i \dfrac{1}{(i+1)^2j^2}\).
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| Sum[1/(j^2 (i + 1)^2), {i, 1, Infinity}, {j, 1, i}]
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- 令\(a_n=(4n + 1)\cdot3^n\)，求\(\displaystyle{S_n=\sum_{i=1}^n}
a_i\)的通项公式。
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| Sum[(4 i + 1)*3^i, {i, 1, n}]
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Integrate, NIntegrate
Integrate命令用于计算积分。
NIntegrate命令用于计算定积分的数值值。一般难以解出解析解时使用。
- 计算反常积分\(\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}
e^{-x^2}dx}\).
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| Integrate[E^{-x^2}, {x, -Infinity, Infinity}]
NIntegrate[E^{-x^2}, {x, -Infinity, Infinity}]
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- 计算二重积分\(\displaystyle{\iint_{D}
e^{-x^2}dxdy}\)，其中区域\(D\)是：\((0\le
x\le 1,0\le y\le x^2)\)
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| Integrate[x y, {x, 0, 1}, {y, 0, x^2}]
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- 求解不定积分\(\displaystyle{\int x\cdot
\arctan xdx}\)
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| Integrate[x*ArcTan[x], x]
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D, '
D命令用于求解偏导。
一个函数\(f\)后面加上一个'就用于求出它的一阶导函数\(f'\)。
- 计算\(\dfrac{d (x^n)}{dx}\)。
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| D[x^n, x]
f[x_] = x^n
f'[x]
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- 计算\(\dfrac{d^4 (e^x\cdot
x^4)}{dx^4}\)。
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| D[E^x*x^4, {x, 4}]
f[x_] = E^x*x^4
f''''[x]
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- 计算\(\dfrac{\partial^2}{\partial
x\partial y}\dfrac{e^x}{\sin y}\)。
- 计算\(\dfrac{\partial^3}{\partial
x\partial^2 y}\dfrac{e^x}{\sin y}\)。
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| D[E^x/Sin [y], {x,1}, {y,2}]
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