算法导论18.3 Exercises 答案

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18.3-1

如下是整棵树的初始状态：

graph TD
    A[E L P T X];B[A C];C[J K];D[N O];
    E[Q R S];F[U V];G[Y Z];
    A---B;A---C;A---D;A---E;
    A---F;A---G;
  • C
graph TD
    A[L P T X];B[A E J K];D[N O];
    E[Q R S];F[U V];G[Y Z];
    A---B;A---D;A---E;
    A---F;A---G;
  • C
graph TD
    A[L P T X];B[A E J K];D[N O];
    E[Q R S];F[U V];G[Y Z];
    A---B;A---D;A---E;
    A---F;A---G;
  • P
graph TD
    A[L Q T X];B[A E J K];D[N O];
    E[R S];F[U V];G[Y Z];
    A---B;A---D;A---E;
    A---F;A---G;
  • V
graph TD
    A[L Q X];B[A E J K];D[N O];
    E[R S T U];G[Y Z];
    A---B;A---D;A---E;
    A---G;

18.3-2

首先写出两个子程序：B-TREE-PREDECESSOR-INTERNAL-NODE和B-TREE-SUCCESSOR-INTERNAL-NODE，用于求解某个内部节点\(x\)的第\(i\)个键\(x.key_i\)的前驱和后继。

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B-TREE-PREDECESSOR-INTERNAL-NODE(z, i)
  x = z.c_{i}
  while not x.leaf
  DISK-READ(x.c_{x.n + 1})
    x = x.c_{x.n + 1}
  return x.key_{x.n}

B-TREE-SUCCESSOR-INTERNAL-NODE(z, i)
  x = z.c_{i + 1}
  while not x.leaf
    DISK-READ(x.c[1])
    x = x.c_{1}
  return x.key_{1}

那么我们接下来可以按照每个步骤写出B-TREE-DELETE的过程。

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// 节点x的第i个键和它的两个子节点x.c_{i}，x.c_{i + 1}合并（需要保证这两个子节点的键数都为t-1）。
B-TREE-PUSHDOWN(T, x, i)
  y = x.c_{i}
  z = x.c_{i + 1}
  // 将z合并到y，并插入k
  y.key_{t} = k
  for j = 1 to t - 1
    y.key_{t + j} = z.key_{j}
  for j = 1 to t
    y.c_{t + j} = z.c_{j}
  // 从x中删去z和k。
  for j = i + 1 to x.n
    x.key_{j - 1} = x.key_{j}
  for j = i + 2 to x.n + 1
    x.c_{j - 1} = x.c_{j}
  x.n = x.n - 1
  if x.n > 0
    DISK-WRITE(x)
  else
    // 如果x被删光了，那么y成为新的根节点。
    T.root = y
  DISK-WRITE(y)

B-TREE-DELETE(T, k)
  x = T.root
  if x == T.nil
    error "not find key: " k
  DISK-READ(x)
  while not x.leaf
    i = 1
    while i <= x.n and x.key_{i} < k
      i = i + 1
    if i <= x.n and x.key_{i} == k
      //进入Case 2
      //Case 2a
      DISK-READ(x.c_{i})
      y = x.c_{i}
      if y.n >= t
        k' = B-TREE-PREDECESSOR-INTERNAL-NODE(x, i)
        x.key_{i} = k'
        DISK-WRITE(x)
        k = k'
        x = y
      else 
        //Case 2b
        DISK-READ(x.c_{i + 1})
        z = x.c_{i + 1}
        if z.n >= t
          k' = B-TREE-SUCCESSOR-INTERNAL-NODE(x, i)
          x.key_{i} = k'
          DISK-WRITE(x)
          k = k'
          x = z
        //Case 2c
        else
          B-TREE-PUSHDOWN(T, x, i)
    else
      //进入Case 3，此时x.c_{i}为k所在子树。
      DISK-READ(x.c_{i})
      y = x.c_{i}
      if y.n == t - 1
        if i > 1
          l = x.c_{i - 1}
          DISK-READ(l)
        if i <= x.n
          r = x.c_{i + 1}
          DISK-READ(r)
        // Case 3a
        if i > 1 and l.n >= t
          k' = l.key_{l.n}
          t' = l.c_{l.n + 1}
          l.n = l.n - 1
          for j = y.n downto 1
            y.key_{j + 1} = y.key_{j}
          for j = y.n + 1 downto 1
            y.c_{j + 1} = y.c_{j}
          y.key_{1} = k'
          y.c_{1} = t'
          y.n = y.n + 1
          DISK-READ(x)
          DISK-READ(l)
          DISK-READ(y)
        else if i <= x.n and r.n >= t
          k' = r.key_{1}
          t' = r.c_{1}
          for j = 2 to r.n
            r.key_{j - 1} = r.key_{j}
          for j = 2 to r.n + 1
            r.c_{j - 1} = r.c_{j}
          r.n = r.n - 1
          y.key_{y.n + 1} = x.key_{i}
          y.c_{y.n + 2} = t'
          x.key_{i} = k'
          y.n = y.n + 1
          DISK-READ(x)
          DISK-READ(r)
          DISK-READ(y)
        // Case 3b
        else
          if i == x.n + 1
            i = i - 1
          B-TREE-PUSHDOWN(T, x, i)
      else
        x = y
  //目前x是某个叶子叶子节点，即Case 1，并且保证了x.n >= t。
  i = -1
  for j = 1 to x.n
    if x.key_{j} == k
      i = j
  if i == -1
    error "not find key: " k
  else
    for j = i + 1 to x.n
      x.key_{j - 1} = x.key_{j}
    x.n = x.n - 1
    DISK-WRITE(x)